实变函数第一次作业

📅Date: 2025-02-23 📚Category: 数学 📂Tags: 实变函数 作业 📑Word: 1.8k

本文内容由简易程序从latex批量转义而来, 排版并不友好, 相对精美版请见课程整理

第一次

P11 1: 试证明: 设 \(\{f_n(x)\}\) 以及 \(f(x)\) 都是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的实值函数, 且有 $$ \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) = f(x),\quad x\in\mathbb{R}, $$ 则对 \(t\in\mathbb{R}\), 有 $$ {x\in\mathbb{R}:f(x)\leqslant t}=\bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace. $$

解:

  • 一方面,
    $$
    \begin{array} {l}
    \forall x_0\in{x\in\mathbb{R}:f(x)\leqslant t}, \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)\leqslant t\\ \Rightarrow \forall k_0\in\mathbb{N}+,\ \exists\ n_0\in\mathbb{N}+,\ s.t.\forall n\geqslant n_0, |f_n(x_0)-f(x_0)|<\dfrac 1 k\\ \Rightarrow f_n(x_0)<t+\dfrac 1 k,\ \text{即}\ x_0\in\bigcap\limits_{n=n_0}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace\\ \Rightarrow x_0\in \bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace\\ \Rightarrow {x\in\mathbb{R}:f(x)\leqslant t}\subseteq \bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace
    \end{array}
    $$

    另一方面,
    $$
    \begin{array} {l}
    \forall x_0 \in \bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)t\\ \text{记}\ \delta = f(x_0)-t\\ \Rightarrow \exists\ n_0\in\mathbb{N}+,s.t. |f-f(x_0)|<\dfrac \delta 2\\ \Rightarrow\forall k\geqslant \dfrac 2 \delta, f_{n_0}(x_0)>f(x_0)-\dfrac \delta 2=t+\dfrac{\delta}{2}>t+\dfrac{1}{k}\\ \Rightarrow x\notin\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_{n_0}(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace\\ \Rightarrow x_0\notin\bigcap\limits_{n=m}^\infty \left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_{n_0}(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace\quad \forall m\geqslant 1\\ \Rightarrow x_0\notin\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty \left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_{n_0}(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace\\ \Rightarrow x_0\notin \bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace\\ \end{array}
    $$
    故产生矛盾, 假设不成立.

    综上所述
    $$ {x\in\mathbb{R}:f(x)\leqslant t}=\bigcap\limits_{k=1}^\infty\bigcup\limits_{m=1}^\infty\bigcap\limits_{n=m}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f_n(x)<t+\dfrac 1 k\right\rbrace. $$

P17 1: 设 \(A_1\subset A_2,\ B_1\subset B_2\). 若 \(A_1\sim B_1,\ A_2\sim B_2\), 试问: 是否有 \((A_2\backslash A_1)\sim(B_2\backslash B_1)?\)

解:

  • 不一定, 考虑集合 \(A_1=\{2,3,4,\cdots\},B_1=\{3,4,5,\cdots\},A_2=B_2=\mathbb{N}^*\), 显然有 \(A_1\sim B_1,\ A_2\sim B_2\), 但 \(A_2\backslash A_1=\{1\},\ B_2\backslash B_1=\{1,2\}\) 显然不相等.

P17 3: 若 \(A\subset B\) 且 \(A\sim(A\cup C)\), 试证明 \(B\sim(B\cup C)\).

解:

  • 思路: 考虑 \(B\backslash A\) 部分的点直接映射到自身, 其余部分采用 \(A\sim (A\cup C)\) 的双射, 但是当 \(B\cap C\neq\varnothing\) 时不能保证是单射, 所以需要更细致的处理. 在 \(A\cup C\) 中找出满足与 \(B\backslash A\) 无交的子集合并仍与 \(A\) 等势.

    不妨设 \(A\cap C=\varnothing\), 因为当 \(A\cap C\neq\varnothing\) 时, 这部分元素无论如何变化均不会影响 \(A\cup C,\ B\cup C\).

    由 \(A\sim(A\cup C)\Rightarrow \overline{\overline{A}}=\overline{\overline{A\cup C}}\).

    设 \(E=B\cap C\), 我们有
    $$
    \begin{array} {l}
    A\cap C=\varnothing \Rightarrow E\cap A=\varnothing \\ \Rightarrow A\subseteq (A\cup C)\backslash E \subseteq A\cup C\\ \Rightarrow \overline{\overline{A}}\leqslant\overline{\overline{(A\cup C)\backslash E}}\leqslant\overline{\overline{A\cup C}}\\ \Rightarrow \overline{\overline{A}}=\overline{\overline{(A\cup C)\backslash E}}=\overline{\overline{A\cup C}}
    \end{array}
    $$

    上式中最后一步是因为 \(\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{A\cup C}}\).
    所以 \(A\sim(A\cup C)\backslash E\), 设其双射为 \(f:A\to (A\cup C)\backslash E\).
    就可以构造双射 $$ g(x)=\left\lbrace\begin{array} {ll}
    f(x), & x\in A \\ x, & x\in B\backslash A
    \end{array}\right. $$
    于是 \(B\sim(B\cup C)\).

P54 1: 设 \(\{f_j(x)\}\) 是定义在 \(\mathbb{R}^n\) 上的函数列, 试用点集 $$ {x: f_j(x)\geqslant\dfrac 1 k}\quad (j,k=1,2,\cdots) $$ 表示点集 $$ \left\lbrace x:\varlimsup\limits_{j\to\infty}f_j(x)>0\right\rbrace. $$

解:

  • \(\bigcup\limits_{k=1}^\infty\bigcap\limits_{i=1}^\infty\bigcup\limits_{j=i}^\infty\left\lbrace x:f_j(x)\geqslant\dfrac 1 k \right\rbrace\).

    思路: 考虑将 \(\left\lbrace x:\varlimsup\limits_{j\to\infty}f_j(x)>0\right\rbrace\) 转化为 \(\bigcup\limits_{k=1}^\infty\left\lbrace x:\varlimsup\limits_{j\to\infty}f_j(x)\geqslant\dfrac 1 k \right\rbrace\)

P54 2: 设 \(\{f_n(x)\}\) 是定义在 \([a,b]\) 上的函数列, \(E\subset[a,b]\), 且有 $$ \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\chi_{[a,b]\backslash E}(x),\quad x\in[a,b]. $$ 若令 \(E_n=\left\lbrace x\in[a,b]:f_n(x)\geqslant\dfrac 1 2\right\rbrace\), 试求集合 \(\lim\limits_{n\to\infty}E_n\).

解:

  • 思路: 首先考虑集合的极限要存在, 那么也就是上极限等于下极限, 通过观察不难发现答案就是 \([a,b]\backslash E\), 那么为了说面上极限等于下极限, 我们已经有下极限含于上极限, 那么我们只需证明式子 $$ [a,b]\backslash E\subseteq \varliminf\limits_{n\to\infty}E_n\subseteq\varlimsup\limits_{n\to\infty}E_n\subseteq[a,b]\backslash E. $$ 其中右边的包含关系并不好证, 因为我们很难考察上极限内的元素, 所以我们不妨取补集, 即证 \(E\subseteq(\varlimsup\limits_{n\to\infty}E_n)^c\).

    一方面,
    $$
    \begin{aligned}
    &\forall x\in[a,b]\backslash E,\ \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=1,\\ &\Rightarrow \exists n_0\in\mathbb{N}+, s.t.\ \forall n\geqslant n_0, |f_n(x)-1|\leqslant \dfrac 1 2, \text{即}\ f_n(x)\geqslant\dfrac 1 2,\\ & \Rightarrow x\in E_n \Rightarrow x\in\bigcap\limits^\infty E_m \}^\infty E_m\Rightarrow x\in\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcap\limits_{m=n
    &\Rightarrow x\in \varliminf\limits_{n\to\infty} E_n \Rightarrow [a,b]\backslash E\subseteq \varliminf\limits_{n\to\infty}E_n.
    \end{aligned}
    $$

    另一方面,
    $$
    \begin{aligned}
    &\forall x\in E,\ \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0,\\ &\Rightarrow \exists n_0\in\mathbb{N}+, s.t.\ \forall n\geqslant n_0, |f_n(x)|\leqslant \dfrac 1 2,\\ & \Rightarrow x\notin E_n \Rightarrow x\notin\bigcup\limits^\infty E_m \}^\infty E_m\Rightarrow x\notin\bigcap\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{m=n
    &\Rightarrow x\notin \varlimsup\limits_{n\to\infty} E_n \Rightarrow x\in( \varlimsup\limits_{n\to\infty} E_n)^c\Rightarrow E\subseteq(\varlimsup\limits_{n\to\infty}E_n)^c\\ & \Rightarrow \varlimsup\limits_{n\to\infty}E_n\subseteq[a,b]\backslash E.
    \end{aligned}
    $$

    综上我们有 $$ [a,b]\backslash E\subseteq \varliminf\limits_{n\to\infty}E_n\subseteq\varlimsup\limits_{n\to\infty}E_n\subseteq[a,b]\backslash E, $$ 所以 $$ \varliminf\limits_{n\to\infty}E_n=\varlimsup\limits_{n\to\infty}E_n=[a,b]\backslash E $$ 即 $$ \lim\limits_{n\to\infty}E_n=[a,b]\backslash E. $$

评论